🧠 "Manifold” พื้นฐานแห่งจักรวาลที่ซ่อนอยู่ในคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ ลองจินตนาการว่าคุณยืนอยู่กลางทุ่งกว้าง โลกดูแบนราบจากมุมมองของคุณ แต่เรารู้ดีว่าโลกกลม—นี่คือจุดเริ่มต้นของแนวคิด “Manifold” หรือ “พหุพาค” ที่เปลี่ยนวิธีคิดของนักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ทั่วโลก 📜 เรื่องเล่าจากอดีตสู่ปัจจุบัน ในศตวรรษที่ 19 Bernhard Riemann นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันได้เสนอแนวคิดใหม่เกี่ยวกับ “พื้นที่” ที่ไม่จำกัดแค่แบบแบนราบแบบยุคลิด เขาเสนอว่าเราสามารถคิดถึงพื้นที่ที่โค้งงอได้ และสามารถมีมิติได้มากกว่าสามมิติที่เราคุ้นเคย แนวคิดนี้กลายเป็นรากฐานของ “Topology” หรือ “ภูมิรูปศาสตร์” และถูกนำไปใช้ในฟิสิกส์ โดยเฉพาะในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปของ Einstein ที่มองว่า “อวกาศ-เวลา” คือ manifold สี่มิติที่โค้งงอจากแรงโน้มถ่วง 🔍 Manifold คืออะไร? Manifold คือพื้นที่ที่เมื่อซูมเข้าไปใกล้ ๆ จะดูเหมือนพื้นที่ยุคลิด เช่น พื้นผิวโลกที่ดูแบนเมื่อมองจากจุดเล็ก ๆ แต่จริง ๆ แล้วโค้งเป็นทรงกลม หรือวงกลมที่ดูเหมือนเส้นตรงเมื่อมองใกล้ ๆ แต่ถ้าเป็นรูปเลขแปดที่ตัดกันตรงกลาง จะไม่ใช่ manifold เพราะจุดตัดนั้นไม่สามารถมองว่าเป็นพื้นที่ยุคลิดได้ 📚 การใช้งานในโลกจริง Manifold ไม่ได้อยู่แค่ในตำรา แต่ยังใช้ในการวิเคราะห์ข้อมูลขนาดใหญ่ เช่น การทำความเข้าใจการทำงานของสมองจากข้อมูลนิวรอนนับพัน หรือการจำลองการเคลื่อนไหวของหุ่นยนต์และอนุภาคควอนตัม โดยใช้ manifold เป็นพื้นฐานในการคำนวณและจำลองพฤติกรรม 🧩 เกร็ดเสริมจากภายนอก 💠 ใน Machine Learning มีเทคนิคชื่อ “Manifold Learning” ที่ใช้ลดมิติของข้อมูลเพื่อให้เข้าใจโครงสร้างภายใน เช่น t-SNE หรือ UMAP 💠 ในกราฟิก 3D การสร้างพื้นผิววัตถุที่สมจริงก็ใช้แนวคิด manifold เพื่อจัดการกับโครงสร้างพื้นผิวที่ซับซ้อน ✅ แนวคิดพื้นฐานของ Manifold ➡️ เป็นพื้นที่ที่ดูเหมือนยุคลิดเมื่อมองใกล้ ๆ ➡️ ถูกเสนอโดย Bernhard Riemann ในศตวรรษที่ 19 ➡️ เป็นจุดเริ่มต้นของวิชา Topology ✅ การประยุกต์ใช้ในฟิสิกส์ ➡️ Einstein ใช้ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป ➡️ อวกาศ-เวลาเป็น manifold สี่มิติที่โค้งจากแรงโน้มถ่วง ✅ ตัวอย่างทางคณิตศาสตร์ ➡️ วงกลมเป็น manifold หนึ่งมิติ ➡️ รูปเลขแปดไม่ใช่ manifold เพราะมีจุดตัดที่ไม่ยุคลิด ✅ การใช้งานในวิทยาการข้อมูล ➡️ ใช้ในการวิเคราะห์ข้อมูลนิวรอน ➡️ ใช้จำลองการเคลื่อนไหวของหุ่นยนต์และอนุภาค ✅ การแบ่งพื้นที่ด้วยแผนที่ (Chart) และแอตลาส ➡️ ใช้ชุดพิกัดเพื่ออธิบายแต่ละส่วนของ manifold ➡️ เชื่อมโยงแผนที่ต่าง ๆ ด้วยกฎการแปลงพิกัด https://www.quantamagazine.org/what-is-a-manifold-20251103/